４点を通る楕円、３点を通る楕円と５点を通る楕円
 

４点を通る楕円

　パース（透視図）で描かれる不等辺四辺形に内接する楕円を描くためのシェイプの説明をしましたが、もうひとつ少し違うシェイプを作ってみました。
　それは、与えられた４点を通り、そのうちの一点で与えられた傾きを持つ直線に接する楕円です。この方法でも、下の図のような透視図の立方体の各面に内接する楕円を描くことができます。
 

  下の図は、これらのシェイプを使って描いた内接楕円です。
 

シェイプの紹介

　内接楕円のステンシルの中にある、内接楕円 7 がそのシェイプです。このシェイプはVBAのマクロを使用しています。そのため、VBAマクロを有効にしておく必要があります。

これのシェイプをドロップすると下の図のようになります。
 

　このシェイプには、図のように５個のコントロールポイントがあります。そのうち４個は楕円が通過する点を指定するためのものです。残りの１個は接線の方向を指定するためのものです。

　これらのコントロールポイントをマウスで動かすと、楕円の形が、下の図のようにいろいろと変化します。

ダメな場合もあります。

　一見よさそうなシェイプですが、楕円が描けない場合もあります。下の図は、描けない、あるいは正しく描けない例です。
 

　正しく描けない理由はいろいろあります。ひとつは、接線のありえない傾き。あるいは４点のありえない配置。そのほかこのシェイプの欠点ですが、１点が図形範囲を示す長方形の左下（（原点））にある場合、そして接線の傾きが垂直の場合などです。これらの場合は、図形範囲を示す長方形を赤く表示してわかるようにしてあります。この赤い色は、右クリックメニュー「Reset Alarm」をクリックすると消すことができます。

透視図の立方体に楕円を描くには

　それでは、下の図のような透視図の立方体の面に楕円を描いてみましょう。
 

　まず、１本の水平線を引きます。位置は適当です。目的は、楕円が接する点を求めるためです。その４点がわかれば、このシェイプを適用して内接楕円を描くことができます。
 

　次に、「幾何ツール」の「伸縮直線」を使って、下の図のように透視図の消失点と立方体の頂点を結ぶ直線を、先ほど引いた水平線まで延長します。水平な直線には、ガイドを使います。
 

　それから、「幾何ツール」の「中点通過」を使って、下の図のように「中点」を通る直線をひきます。青色は先ほどの水平線から消失点に向かって引きます。赤色は、立方体の中央の垂直な線の中点から消失点に向かって引きます。
 

　さらに、立方体の上面の辺と「中点通過」直線との交点を通る垂直な直線をひきます。ガイドを使います。
 　これで、内接楕円の接点がすべて、求められたので、これらの点を通過する楕円を描きます。接線の傾きは、立方体の辺の方向です。

 　下の図は、楕円を配置し終わった状態を示します。楕円をクリックして選択された状態にすると、５個のコントロールポイントが見えます。
　マウス右クリックのメニューで「Update Shape size」をクリックすると図形枠を更新することができます。
 

　最後に、右クリックのメニュー「軸を隠す」で軸を消去し、不要な直線を消去して出来上がりです。

両者の比較

ここで紹介した「内接楕円 7」と別にご紹介した「内接楕円 5 内接楕円 6」を比較して見ます。
 「内接楕円 7の方は、シェイプが一種類だけで済みます。しかし、楕円が通過する４点をあらかじめ求めておくことが必要です。また４点を通過し、一点で指定の傾きの楕円の計算には５元連立１次方程式を解かなければならず、どうしてもVBAのマクロを使用しなければなりません。これはたぶんシェイプシートではできないでしょう。「内接楕円 5 内接楕円 6」の場合は通過点は自動的に決まりますが、斜角錐の底辺を置く位置を決める作業が必要です。皆さんは、どちらが良いと思いますか。

２００８年１０月２０日

３点を通る楕円

　４点を通る楕円を、少し変更するだけで、３点を通りその内の２点における接線が指定の方向を向いている楕円のシェイプを作ることができました。それが「内接楕円 8」です。このシェイプにも５個のコントロールポイントがありますが、そのうち３個は楕円が通過する点を指定するためのもの、残りの２個は接線の方向を指定するためのものです。
 

　上の図の左の図は、「内接楕円 8」をドロップしたときのもの、左の図はコントロールポイントを移動したものです。　このシェイプを使用しても、透視図の中の直方体の面に内接する楕円を描く頃ができます。容量は４点を通る楕円の場合と同じです。このシェイプの場合は、通過点を指定する個数が３個だけなので、３角形に内接する楕円を描くこともできます。下の図はその一例です。下の図は、３角形の頂点から、対辺に下ろした、それぞれ、中線、垂線および角度の２等分線が対辺と交わる点を通過点としたものです。また、接線の傾きはそれぞれ、３角形の辺に沿った傾きを指定しています。
 

５点を通る楕円

　５点を通る楕円も同様にして作ることができました。下の図は５点を通る楕円です。左側の図は、ステンシルから「楕円 ５点通過」をドロップしたところです。黄色いコントロールポイントが５個あります。これらはすべて楕円が通過する点を指定するために使います。右側に図は黄色いコントロールポイントを移動したものです。
 

　５点を通過する楕円を使うと５角形に外接する楕円が簡単に描けます。５角形に内接する楕円は、接点を作図や計算で求めるのが難しいので、試行錯誤になりますが、描くことができます。なれれば簡単にできます。下の図は５角形に外接する楕円と内接する楕円を描いたものです。右側の図の黄色いコントロールポイントは、外接する楕円のものです。右側の図の黄色いコントロールポイントは、内接する楕円のものです。
 

ダウンロード

こちらからステンシルのダウンロードができます。